Ο νόμος του Benford

Ο νόμος του Benford (ή αλλιώς νόμος του πρώτου ψηφίου) λέει ότι όταν έχουμε αριθμητικά δεδομένα (στατιστικά ή μετρήσεις) συχνά συμβαίνει το πρώτο ψηφίο των αριθμών να ακολουθεί μη-ομοιόμορφη κατανομή. Σύμφωνα με το νόμο αυτό, το πρώτο ψηφίο είναι 1 περίπου στο 30% των περιπτώσεων, 2 στο ≈17.5% των περιπτώσεων, 3 στο ≈12.5% των περιπτώσεων, ..., 9 στο ≈4,5% των περιπτώσεων.

Πιο συγκεκριμένα οι αριθμοί 1,2,...,9 λέμε ότι ικανοποιούν το νόμο του Benford αν η συνάρτηση πιθανότητας τους είναι 

$P(x) = \log_{10}(x+1)-\log_{10}(x) = \log_{10}\left(1+\frac{1}{x}\right),\quad x=1,2,\ldots, 9$.

Αυτός ο ίσως αντι-διαισθητικός νόμος έχει αποδειχθεί ότι ισχύει σε διάφορα δεδομένα όπως λογαριασμούς ηλεκτρικού, τιμές μετοχών, μήκη ποταμών, φυσικές και μαθηματικές σταθερές και άλλα. Φαίνεται ότι ισχύει με μεγαλύτερη ακρίβεια για δεδομένα των οποίων οι τιμές εκτείνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους.

Πήρε το όνομά του από το φυσικό Frank Benford, ο οποίος ενώ εργαζόταν στην General Electric το 1938 παρατήρησε ότι στα βιβλία με λογαριθμικούς πίνακες οι σελίδες που αντιστοιχούσαν σε αριθμούς που άρχιζαν με το ψηφίο 1 ήταν πολύ πιο τσαλακωμένες και βρώμικες (άρα πολύ πιο χρησιμοποιημένες) από τις άλλες σελίδες. (Εκείνη την εποχή και ελλείψει υπολογιστών χρησιμοποιούσαν ως αναφορά βιβλία με πίνακες για τις τιμές διάφορων συναρτήσεων όπως λογαρίθμων, ημιτόνων, συνημιτόνων κλπ).

Σήμερα ο νόμος του Benford θεωρείται ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τον εντοπισμό λογιστικών ατασθαλιών, καταχρήσεων, φοροδιαφυγής κλπ. Η λογική είναι ότι αν κάποιος προσπαθήσει να παράξει ένα σύνολο από τυχαία δεδομένα, τότε προσπαθεί να τα κάνει κατά το δυνατό ομοιόμορφα, διότι θεωρεί ότι αυτό δείχνει μεγαλύτερη τυχαιότητα. Στην πραγματικότητα όμως για πραγματικά δεδομένα πολύ συχνά ισχύει ο νόμος του Benford.

Ο νόμος του Benford aναφέρθηκε και στο επεισόδιο "The running man" της τηλεοπτικής σειράς Numb3rs.

Πηγή: The first digit phenomenon του T.P. Hill, American Scientist.